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    最優化方法教學課件

    上傳人:努力****83 文檔編號:240073012 上傳時間:2024-03-14 格式:PPT 頁數:488 大?。?4.43MB
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    1、最優化方法南京郵電大學理學院南京郵電大學理學院2 2前言前言一、什么是最優化一、什么是最優化 最優化是一門應用性相當廣泛的學科,它討論決策最優化是一門應用性相當廣泛的學科,它討論決策問題的最佳選擇之特性,尋找最佳的計算方法,研究這問題的最佳選擇之特性,尋找最佳的計算方法,研究這些計算方法的理論性質及其實際計算表現。些計算方法的理論性質及其實際計算表現。應用范圍:信息工程及設計、經濟規劃、生產管理、交應用范圍:信息工程及設計、經濟規劃、生產管理、交通運輸、國防工業以及科學研究等諸多領域。通運輸、國防工業以及科學研究等諸多領域。3 3二、包含的內容二、包含的內容按照優化思想分為經典方法與現代方法。

    2、按照優化思想分為經典方法與現代方法。經典方法主要包括:線性規劃、非線性規劃、整數規經典方法主要包括:線性規劃、非線性規劃、整數規劃、動態規劃等劃、動態規劃等現代方法主要包括:隨機規劃、模糊規劃、模擬退火現代方法主要包括:隨機規劃、模糊規劃、模擬退火算法、遺傳算法、禁忌搜索和人工神經網絡等。算法、遺傳算法、禁忌搜索和人工神經網絡等。我們學習的內容主要是經典的最優化方法。我們學習的內容主要是經典的最優化方法。內容包括線性規劃及其對偶規劃,無約束最優化方法、內容包括線性規劃及其對偶規劃,無約束最優化方法、約束最優化方法等主要內容。約束最優化方法等主要內容。4 4三、學習方法三、學習方法1、認真聽講,

    3、課后及時復習鞏固,并主動完成課、認真聽講,課后及時復習鞏固,并主動完成課后習題。后習題。2、多看參考書,通過不同學者的講述,全方位理、多看參考書,通過不同學者的講述,全方位理解最優化方法的思想方法和應用,特別是計算方法。解最優化方法的思想方法和應用,特別是計算方法。3、學以致用,通過最優化方法的學習,培養研究、學以致用,通過最優化方法的學習,培養研究生數學建模的能力和解決實際問題的能力。大家可生數學建模的能力和解決實際問題的能力。大家可以嘗試對于一些實際問題,先建立數學模型,轉化以嘗試對于一些實際問題,先建立數學模型,轉化為數學問題,通過一些算法解決。為數學問題,通過一些算法解決。5 5四四、

    4、主要參考書、主要參考書教材:解可新教材:解可新、韓健、林友聯:最優化方法(修訂版),、韓健、林友聯:最優化方法(修訂版),天津大學出版社,天津大學出版社,2004年年8月。月。其它參考書:其它參考書:1.蔣金山,何春雄,潘少華:最優化計算方法,廣州:蔣金山,何春雄,潘少華:最優化計算方法,廣州:華南理工大學出版社,華南理工大學出版社,2007年年10月。月。2.謝政,李建平,湯澤瀅:非線性最優化。長沙:國防謝政,李建平,湯澤瀅:非線性最優化。長沙:國防科技大學出版社,科技大學出版社,2003年年9月。月。3.李董輝等李董輝等:數值最優化。北京:科學出版社,:數值最優化。北京:科學出版社,200

    5、5年。年。4.謝政,李建平,陳摯:非線性最優化理論與方法。北謝政,李建平,陳摯:非線性最優化理論與方法。北京:高等教育出版社,京:高等教育出版社,2010年年1月。月。6 6目錄目錄第一章第一章 最優化問題概述最優化問題概述第二章第二章 線性規劃線性規劃第三章第三章 無約束最優化方法無約束最優化方法第四章第四章 約束最優化方法約束最優化方法第一章最優化問題概述8 81.1 最優化問題的數學模型最優化問題的數學模型與基本概念與基本概念9 9例例 1.1.1 運輸問題運輸問題設有設有m個水泥廠個水泥廠A1,A2,Am,年產量各為年產量各為a1,a2,am噸噸.有有k個城市個城市B1,B2,Bk用這

    6、些水泥用這些水泥廠生產的水泥廠生產的水泥,年需求量年需求量b1,b2,bk噸噸.再設由再設由Ai到到Bj每噸水泥的運價為每噸水泥的運價為cij元元.假設產銷是平衡假設產銷是平衡的的,即即:試設計一個調運方案試設計一個調運方案,在滿足需要的同時使總在滿足需要的同時使總運費最省運費最省.1010A1 由題意可畫出如下的運輸費用圖由題意可畫出如下的運輸費用圖:B2AmB1A2Bk產量產量需求量需求量設設AiBj的水泥量為的水泥量為xij,已知已知AiBj單價為單價為cij,單單位為元位為元,則總運費為則總運費為:1111數學模型數學模型:注注:平衡條件平衡條件 作為已知條件并不作為已知條件并不出現在

    7、約束條件中出現在約束條件中.1212例例1.1.2 生產計劃問題設某工廠有設某工廠有m種資源種資源B1,B2,Bm,數量分別為數量分別為:b1,b2,bm,用這些資源產用這些資源產n種產品種產品A1,A2,An.每生產一個單位的每生產一個單位的Aj產品需要消耗資源產品需要消耗資源Bi的的量為量為aij,根據合同規定根據合同規定,產品產品Aj的量不少于的量不少于dj.再再設設Aj的單價為的單價為cj.問如何安排生產計劃問如何安排生產計劃,才能既完成合同才能既完成合同,又使該又使該廠總收入最多廠總收入最多?1313假設產品假設產品Aj的計劃產量為的計劃產量為xj.由題意可畫出如下的生產與消耗的關系

    8、圖由題意可畫出如下的生產與消耗的關系圖:B1B2BmAnA2A1消耗消耗1414數學模型數學模型1515例例 1.1.3 指派問題指派問題設有四項任務設有四項任務B1,B2,B3,B4派四個人派四個人A1,A2,A3,A4去完成去完成.每個人都可以承擔四項任務中的每個人都可以承擔四項任務中的任何一項任何一項,但所消耗的資金不同但所消耗的資金不同.設設Ai完成完成Bj所所需資金為需資金為cij.如何分配任務如何分配任務,使總支出最少使總支出最少?設變量設變量指派指派Ai完成完成bj不指派不指派Ai完成完成bj1616則總支出可表示為則總支出可表示為:數學模型數學模型:1717例例 1.1.4 數

    9、據擬合問題數據擬合問題 在實驗數據處理或統計資料分析中常遇在實驗數據處理或統計資料分析中常遇到如下問題到如下問題.設兩個變量設兩個變量x和和y,已知存在函數關已知存在函數關系系,但其解析表達式或者是未知的或者雖然為但其解析表達式或者是未知的或者雖然為已知的但過于復雜已知的但過于復雜.設已取得一組數據設已取得一組數據:(xi,yi)i=1,2,m.根據這一組數據導出函數根據這一組數據導出函數y=f(x)的一個簡單而的一個簡單而近似的解析表式近似的解析表式.1818最小二乘法最小二乘法解這種問題常用的方法是最小二乘法解這種問題常用的方法是最小二乘法,以一個以一個簡單的函數序列簡單的函數序列j j1

    10、(x),j j2(x),j jn(x)為基本函數為基本函數.一般選取一般選取1,x,x2,xn為基本函數為基本函數,即以即以作為近似表達式作為近似表達式.1919最小二乘法最小二乘法系數的選取要使得下面得平方和最小系數的選取要使得下面得平方和最小:因此因此,數據擬合問題得數學模型為數據擬合問題得數學模型為其中其中xi,yi(i=1,2,m)及及j jj(x)(j=0,1,n)為已知為已知.2020最優化問題最優化問題最優化問題的一般形式最優化問題的一般形式最優化問題的一般形式最優化問題的一般形式為為為為:(1.1)(目標函數目標函數)(1.3)(不等式約束不等式約束)(1.2)(等式約束等式約

    11、束)其中其中x是是n維向量維向量.在實際應用中在實際應用中,可以將求最大值的目標函數取可以將求最大值的目標函數取相反數后統一成公式中求最小值的形式相反數后統一成公式中求最小值的形式.我們總是討論我們總是討論P:P:2121相關定義相關定義定義定義1.1.1(可行解可行解)滿足約束條件滿足約束條件(1.2)和和(1.3)的的x稱為可行解稱為可行解,也稱為可行點或容許點也稱為可行點或容許點.定義定義1.1.2(可行域可行域)全體可行解構成的集合稱全體可行解構成的集合稱為可行域為可行域,也稱為容許集也稱為容許集,記為記為D,即即:D=x|hi(x)=0,i=1,m,gj(x)0,j=1,p,xRn.

    12、若若hi(x),gj(x)為連續函數為連續函數,則則D為閉集為閉集.2222相關定義相關定義定義定義1.1.3 (整體最優解整體最優解)若若x*D,對于一切對于一切xD恒有恒有f(x*)f(x),則稱則稱x*為最優化問題為最優化問題(P)的的整體最優解整體最優解.若若x*D,xx*,恒有恒有f(x*)f(x),則稱則稱x*為最優為最優化問題化問題(P)的嚴格整體最優解的嚴格整體最優解.2323相關定義相關定義定義定義定義定義1.1.4 (1.1.4 (局部最優解局部最優解局部最優解局部最優解)若若若若x*D,存在存在存在存在x*的某鄰域的某鄰域的某鄰域的某鄰域N Ne e e e(x x*),

    13、*),使得對于一切使得對于一切使得對于一切使得對于一切x xD D N Ne e e e(x x*),*),恒有恒有恒有恒有f(x*)f(x),則則則則稱為最優化問題稱為最優化問題稱為最優化問題稱為最優化問題(P)(P)的局部最優解的局部最優解的局部最優解的局部最優解,其中其中其中其中N Ne e e e(x x*)=*)=x x|x x-x x*|*|0.0.當當當當x x x x*時時時時,若上面的不等式為嚴格不等式則稱若上面的不等式為嚴格不等式則稱若上面的不等式為嚴格不等式則稱若上面的不等式為嚴格不等式則稱x x*為問為問為問為問題題題題(P)(P)的嚴格局部最優解的嚴格局部最優解的嚴格

    14、局部最優解的嚴格局部最優解.顯然顯然顯然顯然,整體最優解一定是局部最優解整體最優解一定是局部最優解整體最優解一定是局部最優解整體最優解一定是局部最優解,而局部最優解不而局部最優解不而局部最優解不而局部最優解不一定是整體最優解一定是整體最優解一定是整體最優解一定是整體最優解.x*對應的目標函數值對應的目標函數值f(x*)稱為最優值,記為稱為最優值,記為f*.2424相關定義相關定義求解最優化問題求解最優化問題求解最優化問題求解最優化問題(P P),),就是求目標函數就是求目標函數就是求目標函數就是求目標函數f f(x x)在約束條件在約束條件在約束條件在約束條件(1.2),(1.3)(1.2),

    15、(1.3)下的極小點下的極小點下的極小點下的極小點,實際上是求可行域實際上是求可行域實際上是求可行域實際上是求可行域D D上的整體上的整體上的整體上的整體最優解最優解最優解最優解.但是但是但是但是,在一般情況下在一般情況下在一般情況下在一般情況下,整體最優解是很難求出整體最優解是很難求出整體最優解是很難求出整體最優解是很難求出的的的的,往往只能求出局部最優解往往只能求出局部最優解往往只能求出局部最優解往往只能求出局部最優解.在求解時需要范數的概念,以下給出定義。在求解時需要范數的概念,以下給出定義。在求解時需要范數的概念,以下給出定義。在求解時需要范數的概念,以下給出定義。2525向量范數向量

    16、范數定義定義1.1.5 如果向量如果向量xRn 的某個實值函數的某個實值函數|x|,滿足條件滿足條件(1)|x|0(|x|=0當且僅當當且僅當x=0)(正定性正定性);(2)|a ax|=|a a|x|(對于任意對于任意a aR);(3)|x+y|x|+|y|(三角不等式三角不等式);則稱則稱|x|為為Rn 上的一個向量范數上的一個向量范數.2626常用的向量范數常用的向量范數1-范數范數2-范數范數(歐氏范數歐氏范數)-范數范數p-范數范數-范數是范數是p-范數的極限范數的極限2727常用的向量范數常用的向量范數對向量對向量x=(1,-2,3)T,有有|x|p是是p的單調遞減函數的單調遞減函

    17、數.2828最優化問題的分類最優化問題的分類根據數學模型中有無約束函數分為有約束的根據數學模型中有無約束函數分為有約束的最優化問題和無約束的最優化問題最優化問題和無約束的最優化問題.根據目標函數和約束函數的函數類型分類根據目標函數和約束函數的函數類型分類:線線性最優化問題性最優化問題,非線性最優化問題非線性最優化問題,二次規劃二次規劃,多多目標規劃目標規劃,動態規劃動態規劃,整數規劃整數規劃,0-1規劃規劃.29291.2 最優化問題的一般算法最優化問題的一般算法3030迭代算法迭代算法迭代算法迭代算法 選取一個初始可行點選取一個初始可行點x0D,由這個由這個初始可行點出發初始可行點出發,依次

    18、產生一個可行點列依次產生一個可行點列:x1,x2,xk,記為記為xk,使得某個使得某個xk恰好是問題的一個最優解恰好是問題的一個最優解,或者該點列收斂到問題的一個最優解或者該點列收斂到問題的一個最優解x*.下降算法下降算法 在迭代算法中一般要求在迭代算法中一般要求 f(xk+1)f(xk).3131可行點列的產生可行點列的產生在在xk處求得一個方向處求得一個方向pk(下降方向下降方向),在射線在射線xk+a apk(a a 0)上求一點上求一點:xk+1=xk+a akpk使得使得f(xk+1)f(xk).其中其中a ak稱為步長稱為步長.定義定義1.2.1(下降方向下降方向)在點在點xk處處

    19、,對于方向對于方向pk0,若存在實數若存在實數b b 0,使得任意的使得任意的a a(0,b b),有有:f(xk+a apk)f(xk),則稱則稱pk為函數為函數f(x)在點在點xk處的一個下降方向處的一個下降方向.3232下降方向下降方向若若若若f f(x x)具有連續的一階偏導數具有連續的一階偏導數具有連續的一階偏導數具有連續的一階偏導數,令令令令由由由由TaylorTaylor公式公式公式公式:當當gkTpk0時時,f(xk+a apk)f(xk),所以所以pk是是f(x)在在xk處的一個下降方向處的一個下降方向.反之反之,當當pk是是f(x)在在xk處的一個下降方向時處的一個下降方向

    20、時,有有gkTpk0.通常稱滿足通常稱滿足gkTpk0,使得對任意的使得對任意的a a(0,b b),有有:xk+a apkD,則稱則稱pk為點為點xk處關于區域處關于區域D的可行方向的可行方向.對于對于D的內點的內點(存在鄰域包含于存在鄰域包含于D),任意方向可任意方向可行行,對于邊界點對于邊界點(任意鄰域既有任意鄰域既有D的點也有不在的點也有不在D中的點中的點),則有些方向可行則有些方向可行,有些方向不可行有些方向不可行.若下降方向關于域若下降方向關于域D可行可行,則稱為可行下降方向則稱為可行下降方向.3434最優化問題的算法的一般迭代格式最優化問題的算法的一般迭代格式給定初始點給定初始點

    21、x0,令令k=0.(1)確定確定xk處的可行下降方向處的可行下降方向pk;(2)確定步長確定步長a ak,使得使得f(xk+a akpk)f(xk),(3)令令x xk k+1+1=x xk k+a a a ak kp pk k;(4)若若x xk k+1+1滿足某種終止準則滿足某種終止準則,則停止迭代則停止迭代,以以x xk k+1+1為近似最優解為近似最優解;或者已經達到最大迭代步或者已經達到最大迭代步數數,也可終止迭代也可終止迭代.否則令否則令k:=k+1,轉轉(1)3535收斂性收斂性如果一個算法只有當初始點如果一個算法只有當初始點x0充分接近充分接近x*時時,產生的點列才收斂于產生的

    22、點列才收斂于x*,則稱該算法為具有局則稱該算法為具有局部收斂的算法部收斂的算法.如果對任意的如果對任意的x0D,由算法產生的點列都收斂由算法產生的點列都收斂x*,則稱該算法為具有全局收斂的算法則稱該算法為具有全局收斂的算法.由于一般情況下最優解由于一般情況下最優解x*是未知的是未知的,所以只有所以只有具有全局收斂性的算法才有實用意義具有全局收斂性的算法才有實用意義.但算法但算法的局部收斂性分析的局部收斂性分析,在理論上是重要的在理論上是重要的,因為它因為它是全局收斂性分析的基礎。是全局收斂性分析的基礎。3636收斂速度收斂速度定義定義1.2.3 設序列設序列xk收斂于收斂于x*,而且而且若若0

    23、b b0是預先給定的是預先給定的.38381.3 二維最優化問題的幾何解釋二維最優化問題的幾何解釋3939理論分析理論分析二維最優化問題的目標函數二維最優化問題的目標函數z=f(x1,x2)表示三表示三維空間維空間R3中的曲面中的曲面.在空間直角坐標系在空間直角坐標系O-x1x2z中中,平面平面z=c與曲面與曲面z=f(x1,x2)的交線在的交線在0-x1x2平平面上的投影曲線為面上的投影曲線為:取不同的取不同的c值得到不同的投影曲線值得到不同的投影曲線,每一條投影每一條投影曲線對應一個曲線對應一個c值值,稱投影曲線為目標函數的等稱投影曲線為目標函數的等值線或等高線值線或等高線.4040414

    24、1理論分析理論分析求目標函數求目標函數z=f(x1,x2)在可行域在可行域D上的極小點上的極小點,是在與可行域是在與可行域D有交集的等值線中找出具有有交集的等值線中找出具有最小值的等值線最小值的等值線.也就是在可行域也就是在可行域D上沿著上沿著f(x1,x2)的負梯度方向或某種下降方向上找取的負梯度方向或某種下降方向上找取得最小值得最小值c的點的點.4242例例1.3.1解解 首先畫出可行域首先畫出可行域D,目標函數的等值線是以目標函數的等值線是以點點(1,2)為圓心的一族圓為圓心的一族圓.f(x1,x2)的梯度為的梯度為4343例例1.3.1負梯度方向(負梯度方向(下下降方向降方向)指向等)

    25、指向等值線圓心值線圓心,所以等所以等值線與可行域值線與可行域D的的邊界相切的點邊界相切的點x*=(1/2,3/2)T 是此是此問題的最優解問題的最優解,目目標函數的最優值標函數的最優值為為1/2.4444例例1.3.2解解 首先畫出可行域首先畫出可行域D的圖形的圖形.D為凸多邊形為凸多邊形 ODEFGO.再以再以c為參數畫出目標函數的等值為參數畫出目標函數的等值線線2x1+3x2=c.4545例例1.3.2目標函數目標函數c的值由的值由小到大逐漸增加小到大逐漸增加,等等值線沿著目標函數值線沿著目標函數的梯度方向平行移的梯度方向平行移動動.當移動到點當移動到點E時時,再移動就與可行域再移動就與可

    26、行域D不相交了不相交了,所以頂所以頂點點E就是最優點就是最優點,最最優值為優值為14.4646例例1.3.3解解 如圖所示如圖所示,可行域只能是可行域只能是圓弧圓弧ABE,其中點其中點A和點和點E是是等值線等值線x1x2+1=0和圓和圓x12+x22-9=0的交點的交點.注意到等注意到等值線是平行的拋物線值線是平行的拋物線,圖中畫圖中畫出了幾條目標函數的等值線出了幾條目標函數的等值線.容易看出容易看出B點是最優點點是最優點,所以所以最優解是最優解是(0,-3)T,最優值為最優值為-3.47471.4 一維搜索一維搜索4848問題描述問題描述已知已知xk,并且求出了并且求出了xk處的可行下降方向

    27、處的可行下降方向pk,從從 xk出發出發,沿方向沿方向pk求目標函數的最優解求目標函數的最優解,即求解即求解問題問題:設其最優解為設其最優解為a ak,于是得到一個新點于是得到一個新點xk+1=xk+a ak pk所以一維搜索是求解一元函數所以一維搜索是求解一元函數f f(a a)的最優化問的最優化問題題(也叫一維最優化問題也叫一維最優化問題).我們來求解我們來求解令令()=0,求出求出 的值。的值。4949在在a,b內任取內任取x1x2,1.4.1 黃金分割法黃金分割法 設設f(x)在在a,b上為下單峰函數上為下單峰函數,即有唯一的極小點即有唯一的極小點x*,在在x*左邊左邊f(x)嚴格下降

    28、嚴格下降,在在x*右邊右邊 f(x)嚴格上升嚴格上升.若若f(x1)f(x2),則則x*x1,b.若若f(x1)f(x2),則則x*a,x2 5050黃金分割法黃金分割法我們希望保留我們希望保留Fibonacci方法的優點方法的優點(效率最高效率最高是不可能保留的是不可能保留的),改進其缺點改進其缺點.若第一次選取的試點為若第一次選取的試點為x1x2,則下一步保留的則下一步保留的區間為區間為a,x2或或x1,b,兩者的機會是均等的兩者的機會是均等的.因此我們選取試點時希望因此我們選取試點時希望x2-a=b-x1.abx1x2設設x1=a+p(b-a),則則x2=a+(1-p)(b-a).515

    29、1黃金分割法黃金分割法另外另外,我們希望如果縮小的區間包含原來的試點我們希望如果縮小的區間包含原來的試點,則該試點在下一步被利用則該試點在下一步被利用.若保留的區間為若保留的區間為a,x2,前一次的試點前一次的試點x1在這個區在這個區間內間內.abx1x2abx25252黃金分割法黃金分割法abx1x2abx2我們希望原來我們希望原來的的x1,在縮小的在縮小的區間內成為新區間內成為新的的“x2”.我們根據這一我們根據這一條件來計算條件來計算p.計算計算x2的公式為的公式為x2=a+(1 p)(b a).因此我們希望因此我們希望a+p(b a)=a+(1p)(a+(1 p)(b a)a)x2=a

    30、+(1 p)(b a).即即p2-3p+1=0化簡得化簡得5353黃金分割法黃金分割法若保留區間為若保留區間為x1,b,我們得到的結果是一致的我們得到的結果是一致的.該方法稱為黃金分割法該方法稱為黃金分割法,實際計算取近似值實際計算取近似值:x1=a+0.382(b a),x2=a+0.618(b a),所以黃金分割法又稱為所以黃金分割法又稱為0.618法法.黃金分割法每次縮小區間的比例是一致的黃金分割法每次縮小區間的比例是一致的,每每次將區間長度縮小到原來的次將區間長度縮小到原來的0.618倍倍.5454算法算法1.4.2 黃金分割法黃金分割法給定給定a,b(a0,step 1 令令x2=a

    31、+0.618(b-a),f2=f(x2);step 2 令令x1=a+0.382(b-a),f1=f(x1);step 3 若若|b a|e e,則則 x*=(a+b)/2,Stop.step 4 若若f1f2,則則a x2,x1 x2,f1 f2,轉轉step 5;step 5 令令x2=a+0.618(b a),f2=f(x2),轉轉step3.5555例例1.4.1 用黃金分割法求函數用黃金分割法求函數f(x)=x2-x+2在區間在區間-1,3上的極小值,要求區間長度不大于原始區間上的極小值,要求區間長度不大于原始區間長的長的0.08。5656用用0.618法求解例法求解例1.4.1的數

    32、據表的數據表迭代迭代迭代迭代次數次數次數次數a,bx1x2f1f2|b b-a a|e e e e0 0-1,3-1,30.5280.5281.4721.472 1.7511.751 2.6952.695否否否否1 1-1,1.472-1,1.472-0.056-0.056 0.5280.528 2.0592.059 1.7511.751否否否否2 2-0.056,1.4720.056,1.4720.5280.5280.8880.888 1.7511.751 1.9011.901否否否否3 3-0.056,0.8880.056,0.8880.3050.3050.5280.528 1.7881.

    33、788 1.7511.751否否否否4 40.305,0.8880.305,0.8880.5280.5280.6650.665 1.7511.751 1.7771.777否否否否5 50.305,0.6650.305,0.6650.4430.4430.5280.528 1.7531.753 1.7511.751否否否否6 60.443,0.6650.443,0.6650.5280.5280.5800.580 1.7511.751 1.7571.757是是是是 最優解最優解x*=(0.443+0.665)/2=0.55457570.618法和法和Fibonacci之間的關系之間的關系0.618法

    34、為法為Fibonacci法的極限形式法的極限形式.58580.618法和法和Fibonacci之間的關系之間的關系迭迭代代步步數數的的比比較較 0.618法法:Fibonacci方法方法:忽略忽略 得到得到 黃金分割黃金分割法至多比法至多比Fibonacci法多一步法多一步5959進退法進退法(尋找下單峰區間尋找下單峰區間)在一維搜索之前在一維搜索之前,必須先知道一個必須先知道一個f(x)的下單峰的下單峰區間區間.書中的算法書中的算法1.4.3給出了求函數的一般的下給出了求函數的一般的下單峰區間的算法單峰區間的算法.此處我們對算法此處我們對算法1.4.3加以改進加以改進,求出求出f(x)的一個

    35、形如的一個形如0,b形式的下單峰區間形式的下單峰區間因為我們關心的問題是因為我們關心的問題是:我們的目的是找出兩個點我們的目的是找出兩個點x10,x1=x0+D Dx.x0下面分兩種情況討論下面分兩種情況討論.(1)f(x1)f(x0)x1對應著圖上用紅線標出的一部分對應著圖上用紅線標出的一部分6161進退法進退法(尋找下單峰區間尋找下單峰區間)x0(1)f(x1)f(x0)此時此時x1取值小取值小,我們加大步長向右搜索我們加大步長向右搜索,取取D Dx=2D Dx,x2=x1+D Dx若若f(x1)f(x2),則我們要找的區間即為則我們要找的區間即為x0,x2x1x2D Dx2D2Dx626

    36、2進退法進退法(尋找下單峰區間尋找下單峰區間)x0(1)f(x1)f(x0)若若f(x1)f(x2),則我們所取的步長偏小則我們所取的步長偏小.令令x1=x2,D Dx=2D Dx,x2=x1+D Dx繼續往下判斷繼續往下判斷,直到滿足直到滿足f(x1)f(x2).x1x2D Dx2D2Dxx1x26363進退法進退法(尋找下單峰區間尋找下單峰區間)x0(2)f(x1)f(x0)此時此時x1取值大取值大,我們縮小步長向我們縮小步長向x1左邊搜索左邊搜索,取取D Dx=D Dx/2,x2=x1,x1=x2 -D Dx若若f(x1)f(x0),則我們要找的區間即為則我們要找的區間即為x0,x2否則

    37、繼續縮小區間否則繼續縮小區間,直到滿足直到滿足f(x1)f(x0).x1x2x164641.4.2 二分法二分法若若f(x)的導數存在且容易計算的導數存在且容易計算,則線性搜索的速則線性搜索的速度可以得到提高度可以得到提高,下面的二分法每次將區間縮下面的二分法每次將區間縮小至原來的二分之一小至原來的二分之一.設設f(x)為下單峰函數為下單峰函數,若若f(x)在在a,b具有連續的具有連續的一階導數一階導數,且且f(a)0取取 c=(a+b)/2,若若f(c)=0,則則c為極小點為極小點;若若f(c)0,則以則以a,c代替代替a,b作為新區間作為新區間;若若f(c)0,則以則以c,b代替代替a,b

    38、作為新區間作為新區間.65651.4.3 拋物線法拋物線法在求一元函數的極小點問題上在求一元函數的極小點問題上,我們可以利用若我們可以利用若干點處的函數值來構造一個多項式干點處的函數值來構造一個多項式,用這個多項用這個多項式的極小點作為原來函數極小點的近似值式的極小點作為原來函數極小點的近似值.拋物線法就是一個用二次函數來逼近拋物線法就是一個用二次函數來逼近f(x)的方法的方法,這也是我們常說的二次插值法這也是我們常說的二次插值法.設在已知的三點設在已知的三點x1x0f0,f0f2過三點過三點(x1,f1),(x0,f0),(x2,f2)作二次函數作二次函數y=j j(x),即作即作一條拋物線

    39、一條拋物線,則可推導出:則可推導出:6666為求為求j j(x)的極小點的極小點,令令j j(x)=0,得得:6767若若 充分接近充分接近 ,即對于預先給定的精度即對于預先給定的精度 ,有有 ,則把則把 作為近似極小點作為近似極小點.否則計算否則計算 ,找出找出 和和 之間的大者之間的大者,去去掉掉 或或 ,使新的三點仍具有兩端點的函數值使新的三點仍具有兩端點的函數值大于中間點的函數值的性質大于中間點的函數值的性質.利用新的點再構造利用新的點再構造二次函數二次函數,繼續進行迭代繼續進行迭代.68681.4.4 不精確的一維搜索不精確的一維搜索 前面介紹的得幾種一維搜索方法前面介紹的得幾種一維

    40、搜索方法,都是為都是為了獲得一元函數了獲得一元函數f(x)的最優解的最優解,所以習慣上稱為所以習慣上稱為精確一維搜索精確一維搜索.在解非線性規劃問題中在解非線性規劃問題中,一維搜索一般很難得一維搜索一般很難得到真正的精確值到真正的精確值.因此因此,不精確的一維搜索開始為人們所重視不精確的一維搜索開始為人們所重視.即在即在xk點確定了下降方向點確定了下降方向pk后后,只計算少量的只計算少量的幾個函數就可得到一個滿足幾個函數就可得到一個滿足f(xk+1)0,使使或用下面更強的條件代替或用下面更強的條件代替(1.7)式式:7373Wolfe原則原則關于滿足關于滿足Wolfe原則的步長原則的步長a a

    41、k的存在性的存在性:定理定理1.4.2 設設f(x)有下界且有下界且 gkTpk0.令令m m(0,1/2),(m m,1),則存在區間則存在區間c1,c2,使得任意的使得任意的a ac1,c2均滿足式均滿足式(1.6)和和(1.7)(也滿足也滿足(1.8).7474不精確一維搜索不精確一維搜索Wolfe算法算法問題問題:設已知設已知xk和下降方向和下降方向pk,求問題求問題的近似值的近似值a ak,使使a ak 滿足滿足(1.6)和和(1.7).算法算法1.4.6 不精確一維搜索不精確一維搜索Wolfe算法算法step 1 給定給定m m(0,1),(m m,1),令令a=0,b=,a a=

    42、1,k=0;step2 xk+1=xk+a a pk,計算計算fk+1,gk+1;7575 若若a a 滿足滿足(1.6)和和(1.7)式式,則令則令a ak=a a;若若a a 不滿足不滿足(1.6)式式,則令則令k:=k+1,轉轉step 3;若若a a 不滿足不滿足(1.7)式式,則令則令k:=k+1,轉轉step 4;step 3 令令 轉轉step 2 step 4 令令 轉轉step 2.7676step 1 給定給定m m=0.1,=0.5,令令a=0,b=,a a=1,j=0;Wolfe準則準則(例例1.4.2)用不精確一維搜索求用不精確一維搜索求Rosenbrock函數函數f

    43、(x)=100(x2-x12)2+(1-x1)2在點在點xk=(0,0)T處沿方向處沿方向pk=(1,0)T的近似步長的近似步長a ak.解解7777因為因為fkfk+1=1100=990),則則|x|=a上的點上的點均為極點均為極點證明證明:設設|x|=a,若存在若存在y,z D及及a a(0,1),使使得得x=a ay+(1-a a)z.則則a2=|x|2=(a ay+(1-a a)z,a ay+(1-a a)z)a a2|y|2+(1-a a)2|z|2+2a a(1-a a)|y|z|a2不等式取等號不等式取等號,必須必須|y|=|z|=a,且且(y,z)=|y|z|,容易證明容易證明

    44、y=z=x,根據定義可知根據定義可知,x為極點為極點.8888凸凸 函函 數數定義定義2.1.4 設函數設函數f(x)定義在凸集定義在凸集D Rn上上,若若對任意的對任意的x,y D,及任意的及任意的a a 0,1都有都有f(a a x+(1-a a)y)a a f(x)+(1-a a)f(y)則稱函數則稱函數f(x)為凸集為凸集D上的上的凸函數凸函數.8989凸凸 函函 數數定義定義2.1.5 設函數設函數f(x)定義在凸集定義在凸集D Rn上上,若若對任意的對任意的x,yD,xy,及任意的及任意的a a(0,1)都有都有f(a a x+(1-a a)y)a a f(x)+(1-a a)f(

    45、y)則稱函數則稱函數f(x)為凸集為凸集D上的上的嚴格凸函數嚴格凸函數.將上述定義中的不等式反向將上述定義中的不等式反向,可以得到可以得到凹函數凹函數和和嚴格凹函數嚴格凹函數的定義的定義.9090凸函數的例凸函數的例例例2.1.3 設設f(x)=(x1)2,試證明試證明f(x)在在(,+)上上是嚴格凸函數是嚴格凸函數.證明證明:設設x,y R,且且xy,a a(0,1)都有都有 f(a ax+(1-a a)y)-(a a f(x)+(1-a a)f(y)=(a ax+(1-a a)y-1)2-a a(x-1)2-(1-a a)(y-1)2=a a(1-a a)(x-y)2f(x)+f(x)T(

    46、y-x)9898二階條件二階條件設在開凸集設在開凸集D Rn上上f(x)可微可微,則則(i)f(x)是是D內的凸函數的充要條件為內的凸函數的充要條件為,在在D內任內任一點一點x處處,f(x)的的Hesse矩陣矩陣G(x)半正定半正定,其中其中(ii)若在若在D內內G(x)正定正定,則則f(x)在在D內是嚴格凸函數內是嚴格凸函數.9999凸規劃凸規劃定義定義2.1.6 設設D Rn為凸集為凸集,則則f(x)為為D上的凸函數上的凸函數,則稱規則稱規劃問題劃問題min f(x)s.t.x D為凸規劃問題為凸規劃問題.定理定理2.1.5(i)凸規劃的任一凸規劃的任一局部極小點局部極小點x是整體極小點是

    47、整體極小點,全體極小點組成凸集全體極小點組成凸集.(ii)若若f(x)是是D Rn上的嚴格上的嚴格凸函數凸函數,且凸規劃問題且凸規劃問題min f(x)s.t.x D的整體極小點存在的整體極小點存在,則整體則整體極小點唯一極小點唯一.100100定理定理2.1.5證明證明(思路思路)(i)x*為局部極小點為局部極小點,若存在若存在x0使得使得f(x0)f(x*),則則f(t x0+(1-t)x*)t f(x0)+(1-t)f(x*)令令 t 取一個足夠小的正數取一個足夠小的正數,可導出矛盾可導出矛盾.(ii)若存在若存在x*,y*都是整體極小點都是整體極小點(f(x*)=f(y*),則則f(t

    48、 x*+(1-t)y*)t f(x*)+(1-t)f(y*)=f(x*)矛盾矛盾.1011012.2 線性規劃的標準型線性規劃的標準型與基本概念與基本概念102102線性規劃的一般形式線性規劃的一般形式min(max)c1x1+c2x2+cnxns.t.a11x1+a12x2+a1nxn(或或,=)b1 a21x1+a22x2+a2nxn(或或,=)b2 am1x1+am2x2+amnxn(或或,=)bm x1,x2,xn0103103線性規劃的標準型線性規劃的標準型min c1x1+c2x2+cnxns.t.a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2

    49、am1x1+am2x2+amnxn=bm x1,x2,xn0其中其中bi 0.104104矩陣矩陣-向量形式的標準型向量形式的標準型min cTx(LP)s.t.Ax=b x0其中其中c=(c1,c2,cn)T,x=(x1,x2,xn)T,b=(b1,b2,bm)Tc:價格向量價格向量A:約束矩陣約束矩陣b:右端向量右端向量105105矩陣矩陣-向量形式的標準型向量形式的標準型記記A=(p1,p2,pn),其中其中pj=(a1j,a2j,amj)T,線線性規劃性規劃(LP)又可以表示為又可以表示為106106線性規劃解的情況線性規劃解的情況滿足約束條件的向量滿足約束條件的向量x是可行解是可行解

    50、,全體可行解全體可行解構成可行域構成可行域D.D F F 時時但目標函數無下界時但目標函數無下界時,稱線性規劃稱線性規劃(LP)無界或無最優解無界或無最優解;D=F F 時時,稱線性規劃無可行解稱線性規劃無可行解;D F F 時若時若目標函數有下界目標函數有下界,可以證明線性規可以證明線性規劃劃(LP)必有最優解必有最優解.107107可行域為凸集可行域為凸集定理定理2.2.1線性規劃問題線性規劃問題 min cTx(LP)s.t.Ax=b x0的可行域的可行域D為凸集為凸集.證明證明 任取任取x,y D,則有則有Ax=b,x0,Ay=b,y0對任意的對任意的a a 0,1,設設z=a ax+

    51、(1-a a)y,則則z0,且且Az=A(a ax+(1-a a)y)=a aAx+(1-a a)Ay=a ab+(1-a a)b=b因此因此z DD為凸集為凸集.108108一般形式轉化為標準型一般形式轉化為標準型(i)極大極大極小極小max f(x)min f(x)(ii)小于等于約束小于等于約束則有則有類似可轉化大于等于約束類似可轉化大于等于約束(iv)變量變量xj無非負約束無非負約束引入非負變量引入非負變量xj0,xj0,令令xj=xj-xj”.109109例例2.2.1將線性規劃將線性規劃min y=2x1-x2-3x3s.t.x1+x2+x37x1-x2+x32-3x1-x2+2x

    52、3=5x1,x20,x3是自由變量是自由變量化為標準型化為標準型解解:令令x4=7-(x1+x2+x3),x5=(x1-x2+x3)-2,再令再令x3=x3-x3,得到標準型得到標準型min y=2x1-x2-3x3+3x3s.t.x1+x2+x3-x3+x4=7 x1-x2+x3-x3-x5=2 -3x1-x2+2x3-2x3=5 x1,x2,x3,x3,x4,x50110110基本概念基本概念設約束矩陣設約束矩陣A的秩為的秩為m(行滿秩行滿秩),且且mn,則則A中必中必存在存在m階非奇異子陣階非奇異子陣B,不妨設不妨設B=(p1,p2,pm)稱稱B為線性規劃問題為線性規劃問題(LP)的一個

    53、的一個基矩陣基矩陣,或稱為或稱為基基,基矩陣中的列向量稱為基矩陣中的列向量稱為基向量基向量,對應的變量稱為對應的變量稱為基變量基變量,其余變量稱為其余變量稱為非基變量非基變量.111111基本概念基本概念在約束方程組取定基矩陣在約束方程組取定基矩陣B=(p1,p2,pm)之后之后,令非基變量均為令非基變量均為0,得到的方程組得到的方程組p1x1+p2x2+pmxm=b有唯一解有唯一解,這樣得到約束方程組的一個解向量這樣得到約束方程組的一個解向量x=(x1,x2,xm)T通過這種方法得到的滿足約束方程組的解稱為通過這種方法得到的滿足約束方程組的解稱為基矩陣基矩陣B對應的對應的基解基解.11211

    54、2基本概念基本概念如果基解又滿足非負條件如果基解又滿足非負條件,則稱之為則稱之為基可行解基可行解.此時的基此時的基B稱為可行基稱為可行基.基可行解中非零分量的個數不會超過基可行解中非零分量的個數不會超過m,若基可若基可行解中非零分量的個數恰為行解中非零分量的個數恰為m,稱此基可行解為稱此基可行解為非退化的基可行解非退化的基可行解,否則稱為否則稱為退化的基可行解退化的基可行解.若一個線性規劃的所有基可行解都是非退化的若一個線性規劃的所有基可行解都是非退化的,稱此線性規劃是非退化的稱此線性規劃是非退化的.線性規劃線性規劃(LP)的基解個數不會超過的基解個數不會超過113113例例 考慮線性規劃考慮

    55、線性規劃min 2x1-x2s.t.x1+x2+x3 =5 -x1-x2 +x4 =0 2x1+2x2 +x5=22 x1,x2,x3,x4,x50該線性規劃有該線性規劃有5個個變量變量,3個約束個約束,最最多多10個基解個基解.事實上事實上,該線性規劃只有該線性規劃只有7個基解個基解(p1,p2線性相關線性相關)下面列出下面列出7個基解及對應的基個基解及對應的基(p1,p3,p4),(11,0,-6,11,0)T不可行不可行(p1,p3,p5),(0,0,5,0,22)T退化退化(p1,p4,p5),(5,0,0,5,12)T非退化非退化(p2,p3,p4),(0,11,-6,11,0)T不

    56、可行不可行(p2,p3,p5),(0,0,5,0,22)T退化退化(p2,p4,p5),(0,5,0,5,12)T非退化非退化(p3,p4,p5),(0,0,5,0,22)T退化退化1141142.3 線性規劃的線性規劃的基本定理基本定理115115本節的基本定理要說明要找線性規劃的最優本節的基本定理要說明要找線性規劃的最優解只需在基可行解中選擇就可以了解只需在基可行解中選擇就可以了,這樣將選這樣將選擇的范圍控制在有限個擇的范圍控制在有限個.定理定理2.3.1 設設x是標準型線性規劃是標準型線性規劃(LP)的可行解的可行解,x為為(LP)的基可行解的充要條件是的基可行解的充要條件是,x的正分量

    57、的正分量對應的系數列向量線性無關對應的系數列向量線性無關.116116定理定理2.3.2 設設x是標準型線性規劃是標準型線性規劃(LP)的可行解的可行解,x為為(LP)的基可行解的充要條件是的基可行解的充要條件是,x為可行域為可行域D的極點的極點.證明證明:必要性必要性 不妨設不妨設x=(x1,x2,xm,0,0)T是是(LP)的基可行解的基可行解,且且x1,x2,xm是基變量是基變量,假設有假設有u,vD,0a a 0.假設假設x不是基可行解不是基可行解,于是于是p1,p2,pk線性相關線性相關,即有一組不全為即有一組不全為0的數的數a a1,a a2,a ak,使得使得a a1p1+a a

    58、2p2+a akpk=0(2.4)又又xD,所以所以 x1p1+x2p2+xkpk=b (2.5)用用e e 0乘乘(2.4)再與再與(2.5)相加減得相加減得(x1+eaea1)p1+(x2+eaea2)p2+(xk+eaeak)pk=b(x1eaea1)p1+(x2eaea2)p2+(xkeaeak)pk=b118118令令u=(x1+eaea1,x2+eaea2,xk+eaeak,0,0)Tv=(x1eaea1,x2eaea2,xkeaeak,0,0)T則有則有Au=b,Av=b,當當e e充分小時充分小時,可使可使u0,v0.因此因此,當當e e充分小時充分小時,u,v都是都是(LP)

    59、的可行解的可行解,且且uv,x=1/2 u+1/2 v,這與這與x是是D的極點相矛盾的極點相矛盾.因此因此x是基可行解是基可行解.推論推論:線性規劃線性規劃(LP)的可行域的可行域D=x|Ax=b,x0最多具有有限個極點最多具有有限個極點119119(p1,p3,p4),(11,0,-6,11,0)T不可行不可行(p1,p3,p5),(0,0,5,0,22)T退化退化(p1,p4,p5),(5,0,0,5,12)T非退化非退化(p2,p3,p4),(0,11,-6,11,0)T不可行不可行(p2,p3,p5),(0,0,5,0,22)T退化退化(p2,p4,p5),(0,5,0,5,12)T非

    60、退化非退化(p3,p4,p5),(0,0,5,0,22)T退化退化前例中三個退化的基可行解對前例中三個退化的基可行解對應著同一個極點應著同一個極點(基可行解與基可行解與極點不是一一對應極點不是一一對應)120120有可行解有可行解有基可行解有基可行解定理定理2.3.3 若線性規劃若線性規劃(LP)存在可行解存在可行解,則它一則它一定存在基可行解定存在基可行解.證明證明 設設x=(x1,x2,xn)T是是(LP)的可行解的可行解.不失不失一般性一般性,設其前設其前k個分量為正個分量為正,其余分量為零其余分量為零.則則有有若若p1,p2,pk線性無關線性無關,則則x為基可行解為基可行解;若若p1,

    61、p2,pk線性相關線性相關,即有一組不全為即有一組不全為0的數的數a a1,a a2,a ak,使得使得a a1p1+a a2p2+a akpk=0 121121與定理與定理2.3.2的證明類似的證明類似,作作x1=x+eaea,x2=x-eaea,其中其中a a=(a a1,a ak,0,0)T當當e e充分小時充分小時,x1,x2是線性規劃是線性規劃(LP)的可行解的可行解.選擇適當的選擇適當的e e,使得使得xj+eaeaj,xj-eaeaj(j=1,k)中至少中至少有一個為零有一個為零,而其余的值大于零而其余的值大于零.這樣得到一個新的可行解這樣得到一個新的可行解,其中非零分量的個其中

    62、非零分量的個數比數比x至少減少一個至少減少一個.如果新的可行解正分量對應的列向量線性無如果新的可行解正分量對應的列向量線性無關關,則問題得證則問題得證.否則重復上面的過程直到正分否則重復上面的過程直到正分量對應的列向量線性無關為止量對應的列向量線性無關為止.122122有最優解有最優解有最優的基可行解有最優的基可行解定理定理2.3.4 若線性規劃若線性規劃(LP)存在最優解存在最優解,則必存在基則必存在基可行解是最優解可行解是最優解.證明證明:設設x是最優解是最優解.若若x不是基可行解不是基可行解,作出兩個新作出兩個新的可行解的可行解:x+eaea,x-eaea,對應的目標函數值為對應的目標函

    63、數值為cTx+e ecTa a與與cTx-e ecTa a.由于由于x是最優解是最優解,cTx+e ecTa a cTx;cTx-e ecTa a cTx.因此因此cTa a=0.于是于是,當當e e 0充分小時充分小時,x+eaea,x-eaea也是可行最優解也是可行最優解.仿照定理仿照定理2.3.3的證明的證明,可以得到最優的基可行解可以得到最優的基可行解.123123單純形方法的思路單純形方法的思路找出一基可行解找出一基可行解(極點極點)若其不是最優若其不是最優,找到一個相鄰極點找到一個相鄰極點新的目標函數值不大于原目標函數值新的目標函數值不大于原目標函數值經過有限次迭代給出最優解或判斷

    64、無最優解經過有限次迭代給出最優解或判斷無最優解124124單純形方法的思路單純形方法的思路(幾何幾何)線性規劃線性規劃min-72x1-64x2s.t.x1 +x2+x3 =50 12x1+8x2 +x4 =490 3x1 +x5=100 x1,x2,x3,x4,x50的等價形式為的等價形式為min-72x1-64x2s.t.x1 +x2 50 12x1+8x2 490 3x1 100 x1,x20125125OABCD梯度方向梯度方向x2=0 x1=0 x5=0 x3=0 x4=0等等值值線線基可行解基可行解O126126OABCDx2=0 x1=0 x5=0 x3=0 x4=0基可行解基可

    65、行解A127127OABCDx2=0 x1=0 x5=0 x3=0 x4=0基可行解基可行解B128128OABCDx2=0 x1=0 x5=0 x3=0 x4=0基可行解基可行解C是最優解是最優解129129單純形方法的思路單純形方法的思路(代數代數)例例 考察線性規劃考察線性規劃min-72x1-64x2s.t.x1 +x2+x3 =50 12x1+8x2 +x4 =490 3x1 +x5=100 x1,x2,x3,x4,x50以以x3,x4,x5為基變量為基變量,容易容易得到基可行解得到基可行解(0,0,50,490,100)T.由于由于x1的價格系數為的價格系數為負數負數,增加增加x1

    66、的取值的取值可以使得目標函數可以使得目標函數值減少值減少.類似的類似的,我們也可以我們也可以增加增加x2的取值的取值,使得使得目標函數值減少目標函數值減少.由于由于-72負得多一些負得多一些,我們先增加我們先增加x1.130130單純形方法的思路單純形方法的思路(代數代數)min-72x1-64x2s.t.x1 +x2+x3 =50 12x1+8x2 +x4 =490 3x1 +x5=100 x1,x2,x3,x4,x50 x1可以增加多少可以增加多少?x150 x1490/12x1100/3因此因此x1的最大取值為的最大取值為min(50,490/12,100/3)=100/3此時此時x5的取值為的取值為0,x5“出基出基”.131131單純形方法的思路單純形方法的思路(代數代數)根據根據3x1+x5=100,我們將原我們將原來的線性規劃改寫如下來的線性規劃改寫如下min-64x2+24x5-2400s.t.x2+x3 -x5/3=50/3 8x2 +x4-4x5 =90 x1 +x5/3=100/3 x1,x2,x3,x4,x50此時此時,基變量為基變量為x1,x3,x4,基可基可

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